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判别式应用三注意
来源:文秘网 时间:2009/6/25 12:30:54 作者:yqygr

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判别式应用三注意 

一元二次方程根的判别式在解题中有着极其广泛的应用,在应用时要注意以下几点:
一、要注意对二次项系数的研究
例1  a为何值时,方程a2x2+2a-1x+1=0有两个实数根?(天津市中考题)
分析:由于方程有两个实数根,故有a2≠0且△≥0。
解:依题有  a2≠0
        △=2a-12-4a2≥0
解得a≤1/4且a≠0。
例2 若关于x的方程Rx2-4x+3=0有实数根,则k的非负整数值为(  )。
(A)0,1  (B)0,1,2  (C)1  (D)1,2,3(济南市中考题)
分析:题中未要求方程有两个实数根,因此,要分k=0和k≠0两种情况求解。
解:当k=0时 原方程为-4x+3=0此时方程有实数根x=3/4k=0符合要求。
当k≠0时,由

△≥0有(-42-4xk×3≥0,故k≤4/3,且k≠0。
由k为非负整数有k=1。
综合上述两种情况有k=01应选(A)。
二、要全面考虑问题
一元二次方程“有实数根”,包括有相等或不相等两实根这两种情况,此时△=b2-4ac≥0不能丢掉等号;反之,若△≥0,则方程两根相等或不相等,不能遗漏任何一种情况。
例3 当a、b、c为实数时,求证方程x2-a+bx+ab-c2=0有两个实数根,并求出方程有两个等根的条件。
证明:∵a、b、c为实数
∴ △=a+b2-4ab-c2=a-b2+4c2≥0因此方程有实数根。
当△=a-b2+4c2=0即a=bc=0时,原方程两根相等。
三、要善于构造方程应用判别式
当已知或求证中出现b2-4ac这类形式的式子时,可以构造方程ax2+bx+c=0a≠0),再应用根的判别式去寻找解题思路。
例4 已知(z-x2-4x-yy-z=0,求证:2y=x+z。
证明:若x=y时,易有x=y=z显然有2y=x+z
若x≠y则可得以(x-y、(z-x、y-z为系数的一元二次方程(x-yt2+z-xt+y-z=0有两个相等实根,解方程得t1=1t2=(y-z)/(x-y),又t1=t2
∴(y-z)/(x-y)=1
∴2y=x+z
综上知问题获证。

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