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谈含参数一元二次方程的解题思路
来源:文秘网 时间:2009/7/2 5:59:46 作者:yqygr

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谈含参数一元二次方程的解题思路 

    一元二次方程在整个代数体系中占有极其重要的地位,它既是学生掌握代数知识的重点也是难点,尤其是含参数的一元二次方程更是各地中考命题的一个热门内容,不少初学者总是不能得出此类题解的正确结果,现通过以下几点帮助同学们理一理此类习题的解题思路。
    一、先看二次项系数:一个含参数的一元二次方程题型若具有一元二次方程的特征关键语(有两根等)则必须二次项系数不为零;否则二次项系数可为零。
    例1:解关于X的方程(a-1x2-2ax+a=0
    解:①当a=1时,原方程化为-2x+1=0 ∴x=
    ②当a≠1时,原方程化为一元二次方程,其△=4a2-4aa-1=4a,若a

<0则△<0,方程无实根;
若a=0则△=0方程有两个等根x1=x2=0若a>0,则△>0方程有两个不相等的实数根X1=       X2=      ;
    综上所述:当a=1时,X=  ;当a<0时方程无实根;当a=0时方程有等根X1=X2=0;当a>0,且a≠1时方程有两个不等根X1=      X2=      。
    二、在二次项系数不为零的情况下,再看判别式:一般来说,△的情况可分为四类:(1)方程有实根(有二个根)△≥0;(2)方程有两个不相等根△>0;(3)方程有两个相等根△=0;(4)方程无实根△<0 。
    例2:已知方程(m+1x2+2mx+m-3=0有两个不相等的实数根,求m的取值范围。
    分析:方程有两个不相等的实数根,不仅说明了此方程为一元二次方程(m+1≠0而且说明了两根不相等(△>0)。
    解:由题意得 m+1≠0
            △=2m2-4m+1m-3>0
    解之得:m>-  且m≠-1所以m的取值范围为:m>-  且m≠-1
    三、当△≥0时,再运用根与系数关系即在运用根与系数关系解题的前提是:方程必须有根。
    例3:已知关于x的方程x2-2m-2x+m2=0的两实数根的平方和等于56,求m的值。
    解:设方程两个根为x1和x2 则由根与系数关系得:
  x1+x2=2m-2
      x1·x2=m2
又有x12 +x22 =56所以[2m-2]2-2m2=56解得
    m1=-2m2=10当m=-2时△=48>0;
    当m=10时,△=-144<0。
    所以m=10不符题意舍去,所以m的取值为-2。
    四、在考虑好二次项系数、根的判别式以及根与系数关系后,还必须注意到题目本身的“实际意义”。
    例4:已知关于x的一元二次方程(1-2Kx2-2√K+1 x-1=0中K为实数,且方程两根的倒数和比两根的倒数积小1,求K的值。
    分析:本题已交待方程为一元二次方程,则必须讨论1-2K≠0,又方程有两实根的倒数和比倒数积小1,说明△≥0且有  +  +1=   ·  ,除以上外本题还应注意到题目本身的存在性(√K+1要有意义)即要讨论K+1≥0,综上分析本题解可为:
    解:由题意得:
  1-2K≠0①
      △=(-2√K+1)2-4(1-2K)(-1)≥0②
        +  +1=   ·  ③
 K+1≥0④
    由③解得K=0,由①②③得-1≤K≤2,且K≠
所以K的取值为0。
例5:已知a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边(a>b),关于x的方程x2-2ab+c2=0有两个相等实根,且∠A、∠B的正弦是关于x的方程m+5x2-2m-5x+m-8=0的两个根,求m的值。
解:∵方程x2-2a+bx+2ab+c2=0有两等实根,则△=0即4(a+b2-42ab+c2=0∴a2+b2=c2
∴∠C=90°
∴Sin2A+Sin2B=1
又∵∠A、∠B的正弦是方程(m+5x2-2m-5x+m-8=0的两个根且a>b
∴有 m+5≠0
     △=2m-52-4m+5m-8>0
     SinA+SinB=
     SinA·SinB=
解之得m1=4m2=20而当m=4时,SinA·SinB=-  <0,这与0<SinA<1,0<SinB<1不符,∴m=4舍去,∴m的取值为20。●

 

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